Arquímedes: anticipando el cálculo integral

Arquímedes fue uno de los científicos más destacados del período helenístico, y realizó aportaciones importantes en campos tan diversos como las matemáticas, la astronomía o la tecnología militar. Algunos de sus resultados matemáticos fueron tan asombrosos que hacían sospechar que Arquímedes disponía de algún “método secreto” para obtenerlos. El descubrimiento a finales del s. XIX de un texto perdido demostró que en efecto Arquímedes desarrolló un procedimiento innovador que permitía aplicar intuiciones físicas para guiar los descubrimientos matemáticos, y que en algunos aspectos anticipaba el cálculo integral.

Arquímedes: vida y contexto histórico

Como en muchos otros casos de pensadores y personajes de su época, lo que sabemos de la vida de Arquímedes está envuelto en incertidumbres. Se cree que Arquímedes nació en Siracusa (Sicilia) en el año 287, y fue hijo del astrónomo Fidias, de una familia acomodada y posiblemente emparentada con Hierón II, rey de Siracusa en aquella época.  Su situación acomodada le permitió dedicarse por completo a sus estudios de astronomía, geometría y física. La vida de Arquímedes puede por tanto situarse en época helenística. El periodo de esplendor político y cultural de las polis griegas iba quedándose en el recuerdo, habiendo transcurrido unos 40 años desde la muerte de Aristóteles, y pese a que la Academia y el Liceo continuaban plenamente operativos, el gran centro cultural de la época era el Museo de Alejandría, a la que la dinastía griega de los Ptolomeos había dotado con la mayor biblioteca y los mejores medios para los estudiosos llegados de cualquier rincón del mundo. En este centro parece que Arquímedes pudo pasar cerca de quince años, lo que le permitió entrar en contacto con todo el saber de su época, y particularmente con los Elementos de Euclides, cuyo rigor demostrativo que permitía extraer conclusiones complejas a partir de un conjunto de axiomas simples ejercería una gran influencia sobre su pensamiento. De retorno a Siracusa, la historia cuenta que Arquímedes murió durante el ataque romano a la ciudad, en el contexto de las guerras entre Roma y Cartago por el dominio del Mediterráneo en las que Siracusa se vio envuelta [1].

Más allá de estos hechos, la mayoría de los acontecimientos que relacionamos con Arquímedes no pasan de ser anécdotas curiosas de dudosa autenticidad. El mito en torno a la figura de Arquímedes comienza con los relatos de Cicerón, que siendo cuestor en Siracusa emprendió la búsqueda de su tumba, y aseguró haberla encontrado tras hallar una lápida con una inscripción medio borrada de uno de los resultados más apreciados por Arquímedes: el que declara que el área y el volumen de una esfera es igual a dos tercios del área y el volumen del cilindro en el que está circunscrita. Cuenta también la historia que, estando en Alejandría, Arquímedes ayudó a Ptolomeo II a desecar un pantano, inventando para ello la bomba de agua que conocemos como “tornillo de Arquímedes” (aunque parece que este mecanismo ya era conocido en la época, si bien sus usos prácticos eran muy limitados), y que también en Alejandría construyó un planetario que ilustraba la sencillez y elegancia del modelo astronómico heliocéntrico de Aristarco. También se cuenta que, ya de vuelta a Siracusa y consultado por el rey Hierón II sobre un método para determinar si una corona que había encargado a un artesano se había fabricado sólo con oro, o si por el contrario era de oro mezclado con plata, planteó el “principio de Arquímedes” e ideó la balanza hidrostática (si bien en los relatos clásicos sobre la anécdota de la corona, Arquímedes se limita a estimar su densidad y por tanto no hace uso ni del principio ni de la balanza). El relato que cuenta que tras idear este principio mientras se bañaba, Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles de Siracusa gritando “Eureka”, al menos sirve para demostrar que el estereotipo del “sabio despistado” ya estaba vigente hace más de dos mil años. Por último, la historia cuenta que Arquímedes colaboró en la resistencia de Siracusa al sitio romano mediante la construcción de catapultas de distancia de lanzamiento variable (aplicando sus conocimientos sobre la palanca) y espejos solares que podían incendiar los barcos enemigos, historia que ha generado una interminable controversia y numerosos estudios sobre la viabilidad técnica de tal construcción en época de Arquímedes. Tras la caída de Siracusa, Arquímedes habría sido asesinado por un soldado romano, irritado porque Arquímedes le habría reprochado haber pisado la demostración geométrica que estaba trazando sobre la arena del suelo. En todo caso, en época de Cicerón Arquímedes era ya una figura venerada, tanto por la magnitud de sus trabajos y sus aplicaciones en física, que tanto concordaban con la mentalidad práctica de los romanos, como posiblemente por un cierto sentimiento de culpabilidad por la historia de su muerte.

El legado de Arquímedes fue muy abundante, y ejerció una notable influencia, tanto durante la antigüedad, como en el Renacimiento, cuando fue recuperado a través de los estudiosos árabes y por los caminos más diversos. Este legado incluye tanto obras sobre el cálculo de volúmenes y superficies  (“Sobre la curvatura de la parábola”, “Sobre la esfera y el cilindro”, “sobre espirales”…), como obras sobre problemas de estática e hidrostática (“Sobre el equilibrio de los planos”, “Sobre los cuerpos flotantes”…), junto con otros textos de temática miscelánea, entre los que destaca el “Arenario”, en el que Arquímedes trata de aplicar una nueva nomenclatura para números grandes desarrollada en colaboración con el director del Museo Eratóstenes al cálculo del número de granos de arena que podría contener el Universo. Sin embargo, como es el caso de muchos autores clásicos, aún más es lo que se perdió. El tema de este ensayo es uno de estos trabajos largamente perdidos, y afortunadamente recuperados hace poco más de un siglo: “El método”.

 “El método” de Arquímedes

Los resultados sorprendentes obtenidos por Arquímedes en el cálculo de áreas y volúmenes de diversas formas geométricas hicieron que durante mucho tiempo se pensase que Arquímedes tenía algún método secreto que le permitía obtenerlos. Tal  cosa no era extraña en su época (o, de hecho, prácticamente hasta la llegada de la Revolución Científica), pues entonces era común medir el prestigio de los estudiosos por los conocimientos únicos de los que disponían, conocimientos que se custodiaban celosamente y habitualmente tan sólo se transmitían a los discípulos directos bajo estrictos requisitos de confidencialidad.

Y tal suposición era cierta, pero tan sólo a medias: Arquímedes disponía de hecho de un método único, desarrollado por él, pero no lo mantuvo secreto, sino que procuró divulgarlo mediante el método más efectivo a su alcance: describiéndolo en una carta a Eratóstenes, en aquel momento bibliotecario del Museo de Alejandría, principal centro de saber de su época, que como se ha comentado se piensa que Arquímedes visitó en diversas ocasiones.

Las vicisitudes históricas hicieron que este documento, como muchos otros textos de la antigüedad custodiados en Alejandría, acabara perdiéndose. No fue hasta 1906 que fue redescubierto, cuando Heiberg tuvo noticias de un palimpesto con contenido matemático descubierto en el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla (un palimpesto es un pergamino que se ha reutilizado lavando su texto original y escribiendo sobre él). Aplicando cuidadosas técnicas de restauración, Heiberg pudo recomponer el texto original, obteniendo así la única copia que ha llegado hasta nuestros días de “El método” de Arquímedes. En la actualidad, esta copia es propiedad de un coleccionista anónimo de Estados Unidos, que la ha depositado en el Walters Art Museum de Baltimore [2].

Para Arquímedes, su método era complementario al método de las Exhauciones, desarrollado principalmente por Eudoxo, de la Academia de Platón, y bien conocido en su época. El método de las exhauciones se basaba en circunscribir el área de la curva que se deseaba calcular en un conjunto de polígonos de área conocida, que se podían aproximar tanto como se desease al área en estudio. El resultado se probaba por reducción al absurdo, demostrando que suponer que el área de la curva estudiada era mayor o menor que la de la sucesión de polígonos conducía irremediablemente a una contradicción. El método era riguroso y potente, pero en general era tan sólo demostrativo: requería que se conociese el resultado que se pretendía demostrar para poder plantear la demostración correctamente, cosa que en muchos casos era difícil por no ser los resultados evidentes. El método de Arquímedes subsanaba esta dificultad, al proporcionar un método de descubrimiento, previo al método demostrativo de la exhaución, de cálculo de áreas o volúmenes a priori desconocidos. De esta forma conseguía obtener el resultado deseado, que a continuación se demostraba de forma rigurosa mediante exhaución.

Una primera particularidad del método de Arquímedes era que planteaba una combinación de métodos matemáticos y mecánicos para obtener los resultados, aplicando así su amplia experiencia en cuestiones de la física como el cálculo de centros de gravedad o la aplicación del principio de la palanca. Según explica Arquímedes en “El método”, con este procedimiento:

“… será posible captar ciertas cuestiones matemáticas por medios mecánicos, lo cual, estoy convencido, será útil para demostrar los mismos teoremas. Yo mismo, algunas de las cosas que descubrí primero por vía mecánica, las demostré luego geométricamente, ya que la investigación hecha por este método no implica verdadera demostración. Pero es más fácil, adquirido por este método un cierto conocimiento de los problemas, dar luego la demostración, que buscarla sin ningún conocimiento previo”

Pero la principal innovación del método de Arquímedes consiste en que, para aplicar estos criterios mecánicos, descompone los cuerpos en estudio en otros cuerpos cuyas propiedades ya son conocidas, y a continuación aplica un proceso generalizador mediante el cual se considera que las figuras planas son la suma de las cuerdas o rectas que las componen, y que los sólidos están formado por la suma de sus secciones planas. Con esto, podría decirse que Arquímedes se anticipa en varios siglos al principio de Cavalieri, que tan importante será para el desarrollo del cálculo integral [3]. En las próximas secciones se ilustra la aplicación de este método mediante un ejemplo concreto presentado por el mismo Arquímedes.

La aplicación del método: sobre la cuadratura de la parábola

En este trabajo, Arquímedes aplica su método al cálculo del área comprendida entre un segmento recto AC y una parábola ABC, con vértice B. Para ello, realiza la siguiente construcción geométrica: traza por A la recta paralela al eje de la parábola, y por C la recta tangente a la parábola en ese punto. Dichas recta se cortan en un punto Z. Además, traza el triángulo ABC, y traza una recta paralela al eje de la parábola en un punto cualquiera del segmento AC. Esta recta corta al segmento AC en un punto X, a la parábola en un punto O a la recta CZ en un punto M, y a la recta CB en un punto N. Sobre esta construcción geométrica, Aristóteles comprueba que se cumple la siguiente relación:

OX · KC = KN · XM

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Planteamiento del problema

Esta relación le sugiere una aplicación de la recta de la palanca: prolongando el segmento KC hasta un punto D tal que KC = DK, y colocando un segmento de longitud XO sobre D, la relación establece que, según las leyes de la palanca, este segmento está en equilibrio con MX respecto del punto de apoyo K.

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Aplicación del principio de la palanca

A continuación se aplica el punto clave de la argumentación: resulta que la suma de todos los posibles segmentos como XO es igual al área comprendida entre el segmento recto AC y la parábola ABC, mientras que la suma de todos los MX es el área del triángulo ACZ.

Así pues, una superficie de área igual a la de la parábola situada con su centro de gravedad sobre D, equilibra al triángulo ACZ, que tiene su centro de gravedad en un punto G del segmento KC que está a una distancia de K de 1/3 de la distancia KC. Por tanto, por las leyes de la palanca, la superficie de la parábola es 1/3 de la superficie del triángulo ACZ.

Finalmente, mediante razonamientos geométricos, se obtiene que el área del triángulo ACZ es cuatro veces el área del triángulo ABC, llegándose así a que el área de la parábola es igual a 4/3· del área del triángulo ABC, de donde sigue la conclusión formulada por Arquímedes [2]:

“Una sección de parábola excede en 1/3 al área del triángulo de igual base que la sección y cuyo vértice es el de la parábola”

La demostración del resultado por el método de la exhaución

Como se ha comentado, Arquímedes no considera que este procedimiento sea demostrativo, por lo que tras “descubrirlo” mediante su innovador método, procede a demostrarlo aplicando el método de exhaución.

En general, este método procede a través de tres etapas [2]:

  • Se construye una figura poligonal, de área conocida, que se pueda aproximar tanto como se quiera a la figura cuya área se trata de calcular. Así, la proposición que se debe probar es A = B, donde A es el área de la figura que se desea obtener, y B el área de la figura poligonal conocida.
  • Si se supone A >B, se podría construir una figura poligonal C inscrita en A tal que C > B pero, con la demostración, se obtendrá que esta suposición conduce a C < B. Luego por el principio de reducción al absurdo, la suposición A > B es falsa.
  • Si se supone A < B se podría construir una figura poligonal D inscrita en A de modo que D <B, pero, con la demostración, resultará D > B, por lo que aplicando nuevamente el principio de reducción al absurdo la suposición A < B también es falsa.
  • El último resultado posible es, entonces, A = B, tal y como se deseaba probar.

Se explica a continuación la aplicación de este método al cálculo del área de la parábola. Para ello, se muestra en primer lugar que la parábola puede “agotarse” (aproximarse tanto como se quiera) mediante un conjunto de triángulos.

Así, dada la parábola ABC, en primer lugar se traza el triángulo ABC. Si se completa el diagrama añadiendo los puntos D, E, F y los segmentos correspondientes, como puede observarse fácilmente en la figura, el área del triángulo ABC es menor que el de la parábola, pero es mayor que la mitad de dicha área (pues el área total del triángulo sería un recuadro ABDE y la mitad del área de la parábola sería sólo una parte de ese recuadro)

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Agotamiento de una parábola (Fase 1)

Además, este procedimiento puede repetirse tantas veces como sea necesario. En efecto, tras trazar el triángulo ABC, se obtienen dos segmentos de parábola, AB y BC. Sobre cada uno de ellos puede trazarse un nuevo triángulo, cada uno de los cuales cubrirá más de la mitad del área de los segmentos de la parábola. Tras esto quedarán cuatro segmentos de parábola, que nuevamente se pueden aproximar por triángulos. Repitiendo el proceso tantas veces como sea preciso, se puede obtener una aproximación a la parábola con la precisión deseada.

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Agotamiento de una parábola (Fase 2)

Además, por criterios geométricos y las propiedades de las parábolas puede demostrarse que la suma de las superficies de los dos nuevos triángulos es igual a 1/4 del área del triángulo ABC. Así pues, puede afirmarse que el cálculo del área de la parábola ha quedado transformado en el cálculo de una serie:

Área = ABC + 1/4·ABC + 1/16·ABC…

Evidentemente, esto da lugar a una serie infinita (concretamente una serie geométrica de razón 1/4), de muy difícil manejo en tiempos de Arquímedes, y cuya misma existencia se ponía en duda desde el planteamiento de las célebres aporías de Zenón y el trabajo de Aristóteles sobre las mismas. Para sortear este problema, Arquímedes usó una hábil estratagema: multiplicó la suma por 1 – 1/4 [1]. Entonces se tiene:

(1 + 1/4 + 1/42 + …) · (1-1/4)             = 1 + 1/4 + 1/42 + … – 1/4·( 1 + 1/4 + 1/42 + …)

= 1 +  1/4 + 1/42 + …. – 1/4 – 1/42 – …

En nuestros días, alcanzado este punto, nos habríamos limitado a cancelar los infinitos términos 1/4n – 1/4n, concluyendo así:

(1 + 1/4 + 1/42 + …) · (1-1/4) = (1 + 1/4 + 1/42 + …) · (3/4) = 1

(1 + 1/4 + 1/42 + …) = 4/3

Sin embargo, para Arquímedes el manejo de infinitos sumandos era, como se ha mencionado, un asunto espinoso, y no considerando demostrable el que la suma de un número infinito de términos que se cancelan entre sí fuese efectivamente cero, Arquímedes optó por truncar la serie llegado un término cualquiera m, llegando así a la siguiente formulación alternativa del resultado:

A1 + A2 + … + Am + 1/3 ·Am = 4/3 · A1.

Arquímedes adoptaba así el punto de vista de Aristóteles, que planteaba que la salida a las aporías de Zenón consistía en denegar la existencia de magnitudes o enumeraciones efectivamente infinitas (“infinito en acto”), admitiendo sólo la existencia de magnitudes que en podrían crecer indefinidamente, tendiendo al infinito (“infinito en potencia”) [4].

Siendo A1 el área de los triángulos añadidos en el paso 1, A2 el área de los triángulos añadidos en el paso 2, etc. Con lo que resulta:

Área parábola A = 4/3·ABC

Completada así la etapa 1 del método de exhaución, para abordar la etapa 2 suponemos en primer lugar que el área de la parábola fuese mayor que 4/3·ABC. Pero si fuese así, podría trazarse un conjunto finito de triángulos cuya suma S se diferenciara del área de la parábola en una cantidad tan pequeña como se quisiera, por lo que S sería también mayor que 4/3·ABC. Pero como se ha demostrado que la suma de la serie es 4/3·ABC, y S contiene sólo un cierto número de los sumandos de la serie, tiene que ser también S menor que 4/3·ABC. Se cae así en una contradicción, por lo que hay que descartar que el área sea mayor que 4/3·ABC.

Si se supone a continuación que el área A de la parábola es menor que 4/3·ABC, entonces 4/3·ABC –  A es un número positivo. Como en el proceso de adición de triángulos, éstos son cada vez más pequeños, se puede llegar a un paso m en que los triángulos añadidos tengan un área menor que la diferencia 4/3·ABC – A:

4/3·A1 – A  > Am

O lo que es lo mismo:

4/3·A1 – Am > A

Pero como previamente se ha demostrado que A1 + A2 + … + Am + 1/3 ·Am = 4/3 · A1, se tiene:

4/3·A1 – (A1 + A2 + … + Am) = 1/3·Am

Por lo que debe cumplirse:

4/3·A1 – (A1 + A2 + … + Am) < Am

A1 + A2 + … + Am > 4/3·A1 – Am

Que, combinado con el resultado anterior, indica:

A1 + A2 + … + Am > A

Lo que es absurdo, pues como se ha indicado anteriormente siempre se cumple que los triángulos inscritos en la parábola tienen un área menor que ésta

Por lo tanto, queda como única conclusión posible que el área de la parábola sea 4/3 el área del triángulo ABC, como se buscaba demostrar.

Conclusiones

Se ha expuesto el método de cálculo de Arquímedes, exponiendo que consiste en dos etapas: una primera que podría denominarse de “descubrimiento”, en la que Arquímedes aplica todas las herramientas a su alcance, incluyendo razonamientos de tipo mecánico, seguida de una de “demostración”, que emplea predominantemente el método de exhaución.

La aplicación de razonamientos mecánicos revela ciertamente una gran creatividad y capacidad de generalización de los conceptos, pero tiene un elemento quizá más importante de rebeldía y de valentía intelectual, que en nuestros días es muy fácil pasar por alto [5]. En efecto, en el mundo griego en general y en tiempos de Arquímedes en particular, la física y las artes mecánicas gozaban de una consideración muy baja entre los estudiosos. Así, se consideraba que en este campo sólo era posible llegar al ámbito de las “opiniones”, pues todo conocimiento sobre ellas venía mediado e irremediablemente falseado por el testimonio de los sentidos y por el carácter mudable de las entidades materiales, mientras que las únicas disciplinas en las que podría llegar a alcanzarse el verdadero “conocimiento” eran aquellas susceptibles de ser analizadas exclusivamente mediante el uso de la razón, destacando entre ellas la geometría. A esta corriente de opinión habían contribuido no poco las teorías físicas de los presocráticos, que mezclaban libremente observaciones científicas, figuras metafóricas y elementos mitológicos y religiosos, o las prácticas de los sofistas, que defendían con igual persuasión teorías físicas antagónicas o abiertamente absurdas. El campo de la física había experimentado cierta rehabilitación en manos de Aristóteles (si bien éste sigue manteniéndolo en el ámbito de la “opinión”, reiterándose frecuentemente en sus escritos que no es posible alcanzar el mismo grado de certeza o de rigurosidad en todas las ciencias), pero seguía siendo una disciplina en cierta forma indigna frente a las matemáticas. Que Arquímedes aplicase sus conocimientos físicos a los cálculos matemáticos implica, como se ha dicho, un importante grado de rebeldía intelectual; pero que se decidiese a admitir esta práctica por escrito, y a darle la máxima difusión ante las autoridades del saber de su época, reunidas en el Museo de Alejandría, prefiriendo así divulgar métodos que consideraba valiosos antes que proteger su prestigio y su reputación, tuvo que implicar una enorme dosis de valor.

Por otra parte, como se ha comentado, Arquímedes tuvo la visión de descomponer volúmenes y superficies en la suma de los planos y rectas que los constituían, adelantándose así en casi dos mil años a los trabajos de Cavalieri y Fubini (si bien no puede decirse que influyese en ellos, o al menos no de forma directa, pues estos matemáticos redescubrieron estos principios de forma independiente, ya que el texto de “El método” de Arquímedes no se recuperó hasta principios del siglo XX). Además, en este procedimiento, así como en la reducción de errores a “infinitésimos” en su método de las exhauciones, podría hablarse de una aproximación “prudente” hacia el concepto del infinito. En esto Arquímedes demostró también una dosis importante de rebeldía intelectual y pragmatismo, pues como se ha comentado el infinito era (y sigue siendo) un tema de difícil manejo, y que tras las dificultades planteadas por Zenón era poco menos que aborrecido por los pensadores griegos. Sin embargo, Arquímedes supo eludir estas dificultades, al tiempo que mantenía la potencia de sus técnicas de cálculo.

Lecturas recomendadas

[1] A. J Durán Guadeño. “La verdad está en el límite: el cálculo infinitesimal”. El mundo es matemático, Ed. RBA (2012).

[2] R. Torija Herrera. “Arquímedes: Alrededor del círculo”. La matemática en sus personajes, Ed. Nivola, (2007).

[3] J. E. Marsden, A. J. Tromba. “Cálculo Vectorial”. Ed. Pearson Prentice-Hall (2004)

[4] Aristóteles. “Física”, edición de J. B. Bergua y E. González-Blanco. Ed. La Crítica Literaria (2011)

[5] A. Molina. “El método de investigación de Arquímedes de Siracusa: Intuición, mecánica y exhaución”. Revista de Filosofía, v. 26, n. 58 (2008)

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